Асимптотическая формула для числа точек решетки в круге на плоскости Лобачевского

Для точек $z=x+iy$ и $z'=x'+iy'$ из верхней полуплоскости определим расстояние $d=d(z,z')$, полагая
$$ d=\ln\biggl(\frac{u+2+\sqrt{u^2+4u}}2\biggr), $$
где
$$ u=\frac{|z-z'|^2}{yy'}\,. $$
Круг $K(z_0,T)$ с центром в точке $z_0$ состоит из точек $z$, удовлетворяющих неравенству $d(z,z_0)\leq T$. Пусть $N(z_0,T)$ – число элементов $\gamma$ модулярной группы $\mathit{PSL}_2(\mathbf Z)$ таких, что точка $\gamma z_0$ попадает в круг $K(z_0,T)$. В работе уточняется остаточный член в асимптотической формуле для величины $N(z_0,T)$.