Реализация линейной функции плоскими контактными схемами и схемами на плоской целочисленной решетке

Рассматривается задача реализации линейной функции алгебры логики плоскими контактными схемами и контактно-проводниковыми схемами на плоской целочисленной решетке.
Известно (см. [1]), что линейная функция реализуется с линейной сложностью в классе произвольных контактных схем и с квадратичной сложностью в классе $\pi$-схем (см. [2, 3]).
Ниже получены линейная верхняя оценка сложности линейной функции в классе плоских контактных схем и верхняя оценка вида $n^{1+\varepsilon(n)}$ для сложности той же функции в классе схем на плоской целочисленной решетке.