О числе циклов в случайном неравновероятном графе

Рассматривается неравновероятный случайный граф $G_{n,N}$ с $n$ занумерованными вершинами и $N$ ребрами, который получается в результате $N$ независимых испытаний. В каждом испытании в графе проводится одно ребро: оно соединяет вершины $i$ и $j$ с вероятностью $2p_ip_j$ или образует петлю в вершине $i$ с вероятностью $p_i^2\,i,j=1,\dots,n,\,p_1,\dots,p_n\geqslant0$, $p_1+\dots+p_n=1$
Основным результатом статьи является следующее утверждение. Предположим, что $p_1=a_i/n$, де $a_i=a_i(n)$, $0<\varepsilon\leqslant a_i\leqslant E<\infty$, $i=1,\dots,n$, а $\varepsilon$ и $E$ – некоторые постоянные, и пусть существует предел
$$ a^2=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^na_i^2. $$
Тогда если $n,N\to\infty$ так, что $2N/n\to\lambda$, и $\lambda a^2<1$, то распределение числа циклов в графе сходится к распределению Пуассона с параметром $\Lambda=-\frac12\ln(1-\lambda a^2)$.