О числе подстановок с ограничениями на длины циклов

Рассматривается множество $S_{n,R}$ всех подстановок степени $n$, длины циклов которых принимают значения из множества $R$. Предполагается, что производящая функция $\sum_{k\in R}z^k$ множества $R$ имеет вид $P(z)/(1-z^m)$, где $P(z)$ – многочлен, $m$ – натуральное число, и существует такое целое $r$, что при любом целом $s\geqslant0$ множество $R\cap\{s+1,\dots,s+r\}$ содержит три точки, не лежащие на решетке с шагом, большим единицы. В этих предположениях найдена асимптотика числа $a_{n,R}$ подстановок в множестве $S_{n,R}$. Доказано, что при $n\to\infty$
$$ a_{n,R}=n!\,e^{-L_{n,R}}/\Gamma(\rho)(1+o(1)), $$
где $\rho$ – плотность множества $R$ в множестве натуральных чисел, $\Gamma$ – гамма-функция, $L_{n,R}=\sum_{k\in R}\frac1k(1-\frac1n)^k$.