Многомерный критический ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона с финальными типами

Рассматривается ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона с $N=m+r$ типами частиц $D_1,\dots,D_m$ $T_1,\dots,T_r$. Частицы типов $D_1,\dots,D_m$ являются финальными, а частицы типов $T_1,\dots,T_r$ образуют критический неразложимый непериодический ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона. Пусть
$$ h(\mathbf s,\mathbf z)\equiv h_i(s_1,\dots,s_r,z_1\dots,z_m)=\mathsf Es_1^{\xi_{i_1}}\dots s_r^{\xi_{i_r}}z_1^{\xi_{i_1}}\dots z_m^{\xi_{i_m}} $$
– производящая функция числа непосредственных потомков частицы типа $T_i$, $f_i(\mathbf s)=h_i(\mathbf s,\mathbf1)$, а $\mathbf v=(v_1,\dots,v_r)$ и $\mathbf u=(u_1,\dots,u_r)$ – соответственно левый и правый собственные векторы матрицы $M=\|\mathsf\xi_{ij}\|$, отвечающие собственному значению $\rho=1$ В случае, когда $\max_{i,j}\mathsf E\eta_{ij}<\infty$ и
$$ (\mathbf v,\mathbf f(\mathbf1-\mathbf ux)-(\mathbf1-\mathbf ux))=x^{1+\alpha}L(x), $$
где $\alpha\in(0,1]$, а $L(x)$ медленно меняется при $x\to+0$, найдено совместное предельное распределение числа финальных и нефинальных частиц в момент $t$ при $t\to\infty$ и условии невырождения к моменту $t$ процесса из нефинальных частиц.