Случайные последовательности вида $X_{t+1}=a_tX_t+b_t\pmod n$ с зависимыми коэффициентами $a_t$, $b_t$

В статье доказаны неравенства для среднеквадратического уклонения $\delta_{N,n}$ матрицы переходных вероятностей за $N$ шагов от равновероятной матрицы для некоторого случайного аффинного блуждания в кольце вычетов по модулю $n$ с зависимыми линейной компонентой и компонентой сдвига блуждания. Показано, что соотношение $\lim_{n\to\infty}\delta_{N,n}=0$ выполняется тогда и только тогда, когда $N/n^2\to\infty$ при $n\to\infty$, при этом при $n\to\infty$
$$ \delta^2_{N,n}\sim \varepsilon_n\exp\{-\pi^2N/l_n^2\}, $$
где $\varepsilon_n=2$, если $n$ четно, $\varepsilon_n=1$, если $n$ нечетно, $l_n=n/2$, если $n$ четно, $l_n=n$, если $n$ нечетно.
Работа выполнена при поддержке программой Президента Российской Федерации поддержки ведущих научных школ, грант НШ-2358.2003.9.