Reduction of a problem of finiteness of Tate-Shafarevich group to a result of Zagier type

Колывагин доказал, что группа Шафаревича-Тэйта эллиптической кривой аналитического ранга 0 или 1, определённой над $\mathbb Q$, конечна. В работе предлагается программа обобщения этого результата на случай фактормотивов мотивов когомологий многомерных многообразий Шимуры. В первой части работы доказаны результаты, являющиеся первыми шагами этой программы. В частности, показано, как можно обойти препятствия, связанные с тем, что характеристический многочлен эндоморфизма Фробениуса в многомерном случае более сложен, чем в одномерном, и с тем, что размерность пространства когомологий в многомерном случае больше, чем в одномерном. Метод заключается во введении понятия псевдо-эйлеровых систем. Это понятие слабее, чем эйлеровы системы Колывагина в одномерном случае, однако достаточно для доказательства теоремы. Основная теорема нашей работы утверждает, что если нетривиальные псевдо-эйлеровы системы существуют, то группа Шафаревича-Тэйта конечна.
Проблема, однако, состоит в конструкции нетривиальных псевдо-эйлеровых систем. Здесь остаются многочисленные препятствия, которые автор оставляет как тему будущих исследований. Наиболее сложное препятствие — нахождение многомерного (то есть для случая многомерных многообразий Шимуры) аналога результата Загира о высоте точек Хегнера на модулярных кривых. Вторая часть работы состоит из гипотетических вычислений, показывающих, что нет никаких оснований думать, что нетривиальные псевдо-эйлеровы системы не существуют. Кроме того, в работе представлены гипотетические вычисления, дающие обобщение соотношений редукции Колывагина на многомерный случай.