Оценки дисперсий

В работе рассматривается задача оценки дисперсии случайного отклонения наблюдений от функции регрессии. Одним из возможных применений этой задачи является обработка данных по динамике температуры воздуха на поверхности земли. Эти данные в последнее время привлекают к себе большой интерес исследователей в связи с явлением глобального потепления климата. Вычисления показали, что годовой тренд среднемесячной температуры в отдельной точке происходит на фоне флуктуаций, превосходящих годовой тренд на один-два порядка. С флуктуациями связаны различные климатические катаклизмы, что вызывает к флуктуациям повышенный интерес специалистов. Поэтому актуальной становится задача оценки дисперсии флуктуаций и построения дисперсии самой оценки. Задача оценки дисперсии для выборки из генеральной совокупности некоторого закона распределения решается с помощью эмпирической дисперсии. Однако даже для этой широко используемой статистики трудно вычислить дисперсию. Еще большую трудность представляет собой построение оценки дисперсии и вычисление дисперсии этой оценки для случайной флуктуации, наблюдаемой на фоне тренда, зависящего от одномерного аргумента и представимого в виде некоторого многочлена. Оказалось, что эту задачу удается решить в том случае, когда наблюдения ведутся в целочисленных точках. Эта задача решается в два этапа. Сначала строится аналог эмпирической дисперсии для выборки из генеральной совокупности некоторого закона распределения. Для этой оценки дисперсии вычисляется ее собственная дисперсия. Затем для модели регрессии, представимой в виде многочлена от натурального аргумента, с помощью элементарных алгебраических преобразований строится рекуррентная процедура, превращающая выборку с наблюдениями за полиномиальной функцией регрессии в выборку из генеральной совокупности некоторого закона распределения. Далее строится оценка дисперсии случайной флуктуации и вычисляется дисперсия самой оценки дисперсии. При этом построения производятся без определения коэффициентов многочлена, задающего тренд, и от него не зависят. Все вычисления автоматически распространяются на случай, когда наблюдения ведутся в целочисленных точках многомерного пространства.