Октаэдр плохо приближается случайными подпространствами

Пространство $\mathbb{R}^N$, снабженное нормой $\|x\|_p=(\sum|x_i|^p)^{1/p}$, обозначается $l_p^N$. Единичный шар этого пространства — $B_p^N$. Доказано, что для $1\le p<2$ отклонение в $l_\infty^N$-метрике множества $B_p^N$ от типичного подпространства размерности $n$ имеет порядок $\sqrt{n^{-1}\log(1+N/n)}$. Известный результат Б. С. Кашина (УМН, 1975, т. XXX, вып. 4, с. 251–252) показывает, что в этом случае колмогоровские поперечники имеют другой порядок. Получены также новые оценки снизу поперечников $d^n(B_1^N,l_\infty^N)$.