Эргодическая теорема для функций от нормальных операторов

Пусть непрерывная функция $\varphi(z)$ имеет нуль конечного порядка в точке $z=1$ и $|\varphi(z)|<1$ при $|z|<1$. Если $A$ — нормальный сжимающий оператор в пространстве $L_2(\Omega,d\mu)$ и $f\in L_2$, то для п. в. $x\in\Omega$
$$ \lim_{N\to\infty}\bigg[\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}A^kf(x)-\frac1N \sum_{k=0}^{N-1}(\varphi(A))^kf(x)\bigg]=0. $$