Нелокальные гамильтоновы операторы гидродинамического типа с плоскими метриками, интегрируемые иерархии и уравнения ассоциативности

Мы решаем задачу описания всех нелокальных гамильтоновых операторов гидродинамического типа с плоскими метриками. Эта задача эквивалентна также описанию всех плоских подмногообразий с плоской нормальной связностью в псевдоевклидовом пространстве. Доказано, что каждый такой гамильтонов оператор (или соответствующее ему подмногообразие) задает пучок согласованных скобок Пуассона, порождает бигамильтоновы интегрируемые иерархии гидродинамического типа, а также определяет семейство интегралов в инволюции. Мы доказываем, что естественный специальный класс таких гамильтоновых операторов (подмногообразий) описывается в точности уравнениями ассоциативности двумерной топологической квантовой теории поля (уравнениями Виттена–Дейкграфа–Верлинде–Верлинде и Дубровина). Показано, что локально всякое $N$-мерное фробениусово многообразие представляется некоторым специальным плоским $N$-мерным подмногообразием с плоской нормальной связностью в $2N$-мерном псевдоевклидовом пространстве. Это подмногообразие определяется однозначно с точностью до движений. Библ. 9.