О числе целых точек в семействах гомотетичных областей в $\mathbb{R}^n$

В пространстве $\mathbb{R}^n$ рассматривается ограниченная область $\mathcal{D}$ с гладкой границей, исследуется разность между объемом области, растянутой в $\lambda$ раз, и числом $N(\lambda)$ точек с целыми координатами, находящихся в растянутой области, т. е. разность $R(\lambda)=\lambda^n\operatorname{Vol}(\mathcal{D})-N(\lambda)$. Доказываются оценки сверху модуля разности, усредненного по движениям области.