Топология алгебры: комбинаторика операции возведения в квадрат

Исследуется ориентированный граф, каждое ребро которого соединяет элемент кольца с его произведением на себя. Для конечной коммутативной группы (например, для мультипликативной группы вычетов по модулю натурального числа) структура такого графа явно описана: каждая его компонента связности представляет собой ориентированный цикл, оснащенный специальными одинаковыми $2^k$-вершинными корневыми деревьями, присоединенными корнями к циклу-аттрактору. Вычислены также графы групп перестановок и четных перестановок не слишком большого числа элементов, их компоненты также оказались однородно оснащенными циклами.