Асимптотика равномерной меры на симплексах, случайные композиции и разбиения

Мы изучаем предельное поведение равномерных мер на конечномерном симплексе при возрастающей размерности симплекса и дискретный аналог этого вопроса — предельное поведение равномерных мер на композициях. Доказывается, что распределение координат типичной точки симплекса асимптотически экспоненциально, так же как и распределение слагаемых типичной композиции при ограничении на их число. Мы применяем полученные результаты для более прозрачного доказательства утверждения о предельной форме разбиений с ограничением на количество слагаемых, а также намечаем доказательство найденной точной оценки числа слагаемых разбиения, при котором результат Эрдёша и Ленера об асимптотическом отсутствии кратных слагаемых в соответствующих случайных разбиениях остается верным.