Эта публикация цитируется в
1 статье
О рациональных изоморфизмах алгебр Ли
С. Т. Садэтов Донской государственный технический университет
Аннотация:
Пусть
$\mathfrak{n}$ – конечномерная некоммутативная нильпотентная алгебра Ли,
у которой кольцо полиномиальных инвариантов коприсоединенного представления
порождено линейными функциями. Пусть
$\mathfrak{g}$ – произвольная алгебра Ли. В работе рассматриваются полупрямые
суммы $\mathfrak{n}{\kern1pt\dashv_{\rho}\kern1pt}\mathfrak{g}$ по произвольному
представлению
$\rho\colon \mathfrak{g}\to\op{der}\mathfrak{n}$, такому, что для
центра
$z\mathfrak{n}$ алгебры Ли
$\mathfrak{n}$ имеется
$\rho$\+инвариантное
дополнение.
В работе установлено, что некоторая локализация $\wt{P}(\mathfrak{n}{\kern1pt\dashv_{\rho}\kern1pt}\mathfrak{g})$
алгебры Пуассона полиномов от элементов алгебры Ли $\mathfrak{n}{\kern1pt\dashv_{\rho}\kern1pt}\mathfrak{g}$
изоморфна тензорному произведению стандартной алгебры Пуассона ненулевого симплектического пространства
и локализации алгебры Пуассона подалгебры Ли
$(z\mathfrak{n})\dashv\mathfrak{g}$.
Если $[\mathfrak{n},\mathfrak{n}]\subseteq z\mathfrak{n}$, то аналогичное тензорное разложение
установлено для локализованной универсальной обертывающей алгебры алгебры
Ли $\mathfrak{n}{\kern1pt\dashv_{\rho}\kern1pt}\mathfrak{g}$. В случае, когда
$\mathfrak{n}$ – алгебра Гейзенберга,
получены находящие приложения явные формулы для вложений
$\mathfrak{g}_P$
в $\wt{P}(\mathfrak{n}{\kern1pt\dashv_{\rho}\kern1pt}\mathfrak{g})$. Часть приложений связана
с интегрируемостью в механике, часть – с гипотезой Гельфанда–Кириллова.
Ключевые слова:
алгебра Ли, алгебра Пуассона, локализация, гамильтониан, универсальная обертывающая алгебра.
УДК:
512.81 Поступило в редакцию: 07.09.2004
DOI:
10.4213/faa1762