О функциях, все критические точки которых содержатся в шаре

Настоящая заметка дает ответ на следующий вопрос В. И. Арнольда. Рассмотрим на связном замкнутом многообразии функцию с конечным числом критических точек. Предположим, что все критические точки этой функции содержатся в некотором открытом шаре, вложенном в многообразие. Можно ли восстановить многообразие по ограничению функции на этот шар? Оказывается, что можно восстановить только эйлерову характеристику многообразия.