Теорема о реализации в контексте композиции Шура–Сегё

Любой вещественный многочлен степени $n$ от одной переменной, имеющий корень в $-1$, представляется в виде композиции Шура–Сегё $(n-1)$-го многочлена вида $(x+1)^{n-1}(x+a_i)$, где числа $a_i$ определены однозначно с точностью до перестановки. Часть чисел $a_i$ вещественна, остальные образуют комплексно-сопряженные пары. В этой заметке показано, что для любой пара $(\rho,r)$, где $0\le\rho$, $r\le[n/2]$, можно найти многочлен, у которого имеется ровно $\rho$ пар сопряженных корней, а среди чисел $a_i$, определяемых по нему, имеется ровно $r$ комплексно-сопряженных пар.