Многомерная версия принципа обобщенного сжатия М. А. Красносельского

Пусть $M$ — полное $K$-метрическое пространство с $n$-мерной метрикой $\rho (x,y)\colon M\times M \to\mathbb{R}^n$, где $K$ — конус неотрицательных векторов из $\mathbb{R}^n$. Отображение $F\colon M\to M$ называется $Q$-сжатием, если $\rho (Fx,Fy)\le Q\rho (x,y)$, где $Q\colon K\to K$ есть полуаддитивное абсолютно устойчивое отображение. $Q$-сжатие всегда имеет в $M$ единственную неподвижную точку $x^*$, причем $\rho (x^*,a)\le (I-Q)^{-1}\rho(Fa,a)$, для любой точки $a$ из $M$. Точка $x^*$ может быть получена методом последовательных приближений, $x_k=Fx_{k-1}$, $k=1,2,\dots$, начиная с произвольной точки $x_0$ из $M$, причем имеют место следующие оценки погрешности: $\rho(x^*,x_k)\le Q^k(I-Q)^{-1}\rho(x_1,x_0)\le (I-Q)^{-1}Q^k\rho(x_1,x_0)$, $k=1,2,\dots$. Отображения $(I-Q)^{-1}$ и $Q^k$, вообще говоря, не коммутируют. Полученный результат при $n=1$ близок к принципу обобщенного сжатия М. А. Красносельского.