Об устойчиво $\mathcal{K}$-монотонных банаховых парах

Изучаются $\mathcal{K}$-монотонные банаховы пары, обладающие определенной устойчивостью при умножении нормы на константу. Предположим, что $E$ — сепарабельная банахова решетка двусторонних числовых последовательностей, такая, что $\|e_n\|=1$ ($n\in\mathbb{N}$), где $\{e_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$ — стандартный базис. Показано, что пара $\vec{E}=(E,E(2^{-k}))$ устойчиво $\mathcal{K}$-монотонна, если и только если $E$ инвариантна относительно сдвига. Построен пример нетривиальной инвариантной относительно сдвига сепарабельной банаховой решетки $E$, такой, что пара $\vec{E}$ $\mathcal{K}$-монотонна. Последнее контрастирует с известной теоремой Калтона о том, что если сепарабельная банахова решетка $E$ симметрична и пара $\vec{E}$ $\mathcal{K}$-монотонна, то $E=l_p$ $(1\le p<\infty)$ или $E=c_0$.