Обратные задачи для оператора Штурма–Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева. Равномерная устойчивость

В работе изучаются две обратные задачи для оператора Штурма–Лиувилля $Ly=-y''+q(x)y$ на отрезке $[0,\pi]$. С первой из них при $\theta\ge0$ связано отображение $F\colon W^{\theta}_2 \to l^{\theta}_B$, $F(\sigma)=\{s_k\}_1^\infty$, где $W^\theta_2=W^{\theta}_2[0,\pi]$ — пространство Соболева, $\sigma =\int q$ — первообразная потенциала $q$, а $l^{\theta}_B$ — специально построенное конечномерное расширение весового пространства $l^{\theta}_2$, куда помещаются регуляризованные спектральные данные ${\mathbf s}=\{s_k\}_1^\infty$ для задачи восстановления по двум спектрам. Основной результат состоит в доказательстве равномерных оценок и снизу и сверху нормы разности $\|\sigma - \sigma_1\|_\theta$ через норму разности регуляризованных спектральных данных $\|{\mathbf s}-{\mathbf s}_1\|_\theta$, где норма берется в $l^{\theta}_B$. Аналогичный результат получен для второй обратной задачи, которая связана с восстановлением потенциала по спектральной функции оператора $L$, порожденного краевыми условиями Дирихле. Результат является новым и для классического случая $q\in L_2$, который отвечает значению $\theta =1$.