Числа вращения и модули эллиптических кривых

По заданному диффеоморфизму окружности $f$ можно построить отображение, переводящее вещественное число $a$ в число вращения диффеоморфизма $f+a$. В 1978 г. В. И. Арнольд предложил комплексный аналог этого отображения: каждое число $z$, $\operatorname{Im}z>0$, переходит в модуль $\mu(z)$ эллиптической кривой, которая строится по отображению $f+z$.
В предлагаемой статье исследовано поведение отображения $\mu$ вблизи отрезков вещественной оси, на которых число вращения диффеоморфизма $f+a$ рационально. В статье показано, что отображение $\mu$ аналитически продолжается во все внутренние точки таких отрезков, кроме, быть может, конечного числа исключительных точек. Вблизи исключительных точек и концов отрезка значение функции $\mu$ стремится к значению числа вращения отображения $f+a$.
Объединение образов таких отрезков вещественной оси под действием отображения $\mu$ — фрактальное множество в верхней полуплоскости, которое можно считать комплексным аналогом языков Арнольда.