Об интегралах в инволюции групп линейных симплектических преобразований и натуральных механических систем с однородным потенциалом

Доказывается, что если комплексная гамильтонова система с $n$ степенями свободы имеет $n$ функционально независимых мероморфных первых интегралов в инволюции и группа монодромии соответствующей системы в вариациях вдоль какой-либо фазовой кривой этой системы имеет $n$ взаимно косоортогональных двумерных инвариантных подпространств, то ограничение действия этой группы на каждое из этих подпространств имеет рациональный первый интеграл. Полученный результат применяется к натуральным механическим системам с однородным потенциалом, в частности, к задаче $n$ тел.