Вырожденная группа типа $A$: представления и многообразия флагов

Мы рассматриваем вырождение простой комплексной группы Ли $G$, являющееся полупрямым произведением борелевской подгруппы и нормальной абелевой унипотентной подгруппы этой группы. Мы определяем класс представлений со старшим весом вырожденной группы типа А, обобщая конструкцию ПБВ-градуированных представлений классической группы (ПБВ — сокращение от Пуанкаре–Биркгоф–Витт). Как и в классической ситуации, мы рассматриваем замыкания орбиты группы в проективизациях представлений. Мы показываем, что вырожденные многообразия флагов $\mathscr{F}^a_n$ и их разрешений особенностей $R_n$ могут быть получены с помощью нашей конструкции. Мы доказываем, что координатное кольцо многообразия $R_n$ изоморфно (как векторное пространство) прямой сумме двойственных представлений вырожденной группы из нашего класса. В конце работы мы формулируем несколько гипотез о свойствах представлений со старшим весом вырожденной группы типа А.