О квантовании перемычек в уравнении, моделирующем эффект Джозефсона

В статье исследуется двупараметрическое семейство неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений на торе, моделирующее эффект Джозефсона из физики сверхпроводников. Изучается его число вращения как функция от параметров и языки Арнольда (иначе называемые областями фазового захвата): множества уровня числа вращения, имеющие непустую внутренность. Языки рассматриваемого семейства уравнений обладают рядом нетипичных свойств: они существуют только для целых чисел вращения; границы языков задаются аналитическими кривыми (результаты совместных работ В. М. Бухштабера, О. В. Карпова, С. И. Тертычного и Ю. С. Ильяшенко, Д. А. Рыжова, Д. А. Филимонова). В точках пересечения граничных кривых ширина языка равна нулю: образуются перемычки. Численные эксперименты и теоретические исследования, проделанные в совместных работах В. М. Бухштабера, О. В. Карпова, С. И. Тертычного и А. В. Клименко, О. Л. Ромаскевич, показывают, что каждый язык Арнольда образует бесконечную цепочку примыкающих друг к другу областей, разделенных перемычками и уходящих на бесконечность в асимптотически вертикальном направлении. Недавно в ходе численных экспериментов было также обнаружено, что для каждого языка Арнольда все его перемычки ложатся на одну и ту же вертикальную прямую с целочисленной абсциссой, равной соответствующему числу вращения. В статье приведено доказательство этого факта для некоторого открытого множества рассматриваемых двупараметрических семейств уравнений. В общем случае доказано более слабое утверждение: абсцисса каждой перемычки целочисленна, имеет тот же знак, что и число вращения, и по модулю не превосходит числа вращения. Доказательство основано на представлении рассматриваемых дифференциальных уравнений как проективизаций линейных дифференциальных уравнений на сфере Римана и классической теории линейных уравнений с комплексным временем.