Системы полиномиальных уравнений, задающие гиперэллиптические $d$-оскулирующие накрытия

Пусть $X$ — фиксированная гладкая проективная кривая рода $1$, определенная над алгебраически замкнутым полем $\mathbb{K}$ произвольной характеристики $\boldsymbol{p}\neq2$. Для любого натурального $n$ мы рассматриваем пространство модулей $H(X,n)$ конечных отделимых накрытий степени $n$ кривой $X$ гиперэллиптической кривой с отмеченной тройкой точек Вейерштрасса. Мы параметризуем пространство $H(X,n)$ подходящим пространством рациональных функций и используем такую параметризацию для изучения (конечных) подмножеств гиперэллиптических касательных накрытий степени $n$ кривой $X$. Мы находим полиномиальную характеризацию соответствующих рациональных функций и выводим квадратную систему полиномиальных уравнений, решения которой параметризуют эти накрытия. Мы также получаем неквадратные системы полиномиальных уравнений, решения которых параметризуют гиперэллиптические $d$-оскулирующие накрытия для любого $d>1$.