Полнота в топологии Макки

Х. Бонет и Б. Каскалес [Bull. Aust. Math. Soc., 81, 3 (2010), 409–413], отвечая на вопрос М. Кунце и В. Арендта, привели пример нормирующего замкнутого по норме подпространства $N$ пространства $X^*$, сопряженного к банахову пространству $X$, такого, что пространство $X$ неполно в топологии Макки $\mu(X,N)$, ассоциированной с дуальной парой $\langle X,N\rangle$. В этой заметке мы в более общем контексте докажем как положительные, так и отрицательные результаты о полноте в такого рода топологиях и, следовательно, предложим широкие классы примеров такого типа. Более того, в наших примерах используются подпространства $N$ пространства $X^*$, которые содержат предсопряженное к пространству $X$ пространство $P$ при условии что оно существует; это показывает, что явление неполноты, которым интересовались Кунце и Арендт, встречается относительно часто, причем даже для «хорошо расположенных» подпространств сопряженного пространства. Мы также конкретизируем эту ситуацию для типичного банахова пространства, не имеющего предсопряженных подпространств, — пространства $c_0$ — и для пространства Джеймса $J$.