Усреднение уравнений типа Шрёдингера

В $L_2({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$ рассматривается самосопряженный эллиптический оператор $A_\varepsilon$, $\varepsilon >0$, порожденный дифференциальным выражением $b({\mathbf D})^* g({\mathbf x}/\varepsilon)b({\mathbf D})$. Здесь $b({\mathbf D})=\sum_{j=1}^d b_j D_j$ — матричный дифференциальный оператор первого порядка, причем символ $b(\boldsymbol{\xi})$ — матрица максимального ранга. Матрица-функция $g({\mathbf x})$ ограничена, положительно определена и периодична относительно некоторой решетки. Изучается операторная экспонента $e^{- i \tau A_\varepsilon}$, где $\tau \in {\mathbb R}$. Показано, что при $\varepsilon \to 0$ оператор $e^{- i \tau A_\varepsilon}$ сходится к $e^{- i \tau A^0}$ по норме операторов, действующих из пространства Соболева $H^s({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$ (с подходящим $s$) в $L_2({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$. Здесь $A^0$ — эффективный оператор с постоянными коэффициентами. Получены точные по порядку оценки погрешности. Исследован вопрос о точности результатов в отношении типа операторной нормы. Аналогичные результаты получены для более общих операторов. Результаты применяются к вопросу о поведении решения задачи Коши для уравнения типа Шрёдингера $i \partial_\tau {\mathbf u}_\varepsilon ({\mathbf x}, \tau)= A_\varepsilon {\mathbf u}_\varepsilon({\mathbf x}, \tau)$.