О симметризации $\varepsilon$-изометрий банаховых пространств

В заметке рассматривается слабая стабильность симметризации $\Theta=(f(\,\boldsymbol\cdot\,)-f(-\,\boldsymbol\cdot\,))/2$ общей $\varepsilon$-изометрии $f\colon X \to Y$ из одного банахова пространства в другое. В частности, получен следующий, в определенном смысле неожиданный, результат о слабой стабильности: для каждого $x^\ast\in X^\ast$ найдется $\varphi\in Y^\ast$, такой, что $\|\varphi\|=\|x^\ast\|:= r$ и
$$ |\langle x^\ast,x\rangle-\langle \varphi,\Theta(x)\rangle|\le\tfrac{3}{2}r\varepsilon\quad{для всех }\,x\in X. $$
Основываясь на этом, мы выводим несколько новых результатов о стабильности симметризации $\Theta$ отображения $f$.