Эта публикация цитируется в
2 статьях
Среднее число решений систем уравнений
Б. Я. Казарновский Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, Москва, Россия
Аннотация:
Пусть
$V_1,\dots,V_n$ — конечномерные пространства гладких функций на гладком
$n$-мерном многообразии
$X$. Для систем уравнений $\{f_i=a_i\mid f_i\in V_i,\,a_i\in{\mathbb R},\,i=1,\dots,n\}$ устанавливается связь между средним числом решений и смешанными объемами выпуклых тел. Для этого мы, предполагая пространства
$V_i$ нормированными, строим 1) меры в пространствах систем уравнений и 2) банаховы выпуклые тела в
$X$, т. е. семейства центрально симметричных выпуклых тел в слоях кокасательного
расслоения многообразия
$X$. Объемом банахова выпуклого тела мы называем симплектический объем объединения этих тел. Оказывается, что среднее число решений равно смешанному симплектическому объему банаховых выпуклых тел, соответствующих пространствам
$V_i$. При этом в правой части равенства могут появляться произвольные гладкие строго выпуклые банаховы тела.
Ранее рассматривался случай евклидовых пространств
$V_i$. В этом случае банаховы тела являются семействами эллипсоидов.
Ключевые слова:
среднее число решений, смешанный симплектический объем, банахово пространство, формула Крофтона, нормальная плотность.
УДК:
515.16+517.986.64
MSC: 52A39,
51B20,
53C65 Поступило в редакцию: 13.08.2019
Исправленный вариант: 25.02.2020
Принята в печать: 01.03.2020
DOI:
10.4213/faa3723