RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Функциональный анализ и его приложения // Архив

Функц. анализ и его прил., 2020, том 54, выпуск 2, страницы 35–47 (Mi faa3723)

Эта публикация цитируется в 2 статьях

Среднее число решений систем уравнений

Б. Я. Казарновский

Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, Москва, Россия

Аннотация: Пусть $V_1,\dots,V_n$ — конечномерные пространства гладких функций на гладком $n$-мерном многообразии $X$. Для систем уравнений $\{f_i=a_i\mid f_i\in V_i,\,a_i\in{\mathbb R},\,i=1,\dots,n\}$ устанавливается связь между средним числом решений и смешанными объемами выпуклых тел. Для этого мы, предполагая пространства $V_i$ нормированными, строим 1) меры в пространствах систем уравнений и 2) банаховы выпуклые тела в $X$, т. е. семейства центрально симметричных выпуклых тел в слоях кокасательного расслоения многообразия $X$. Объемом банахова выпуклого тела мы называем симплектический объем объединения этих тел. Оказывается, что среднее число решений равно смешанному симплектическому объему банаховых выпуклых тел, соответствующих пространствам $V_i$. При этом в правой части равенства могут появляться произвольные гладкие строго выпуклые банаховы тела. Ранее рассматривался случай евклидовых пространств $V_i$. В этом случае банаховы тела являются семействами эллипсоидов.

Ключевые слова: среднее число решений, смешанный симплектический объем, банахово пространство, формула Крофтона, нормальная плотность.

УДК: 515.16+517.986.64

MSC: 52A39, 51B20, 53C65

Поступило в редакцию: 13.08.2019
Исправленный вариант: 25.02.2020
Принята в печать: 01.03.2020

DOI: 10.4213/faa3723



Реферативные базы данных:


© МИАН, 2024