RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Функциональный анализ и его приложения // Архив

Функц. анализ и его прил., 2022, том 56, выпуск 1, страницы 66–80 (Mi faa3894)

Эта публикация цитируется в 4 статьях

Усиление теоремы Бургейна–Конторовича о малых значениях хаусдорфовой размерности

И. Д. Кан

Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет), Москва, Россия

Аннотация: В настоящей работе доказано следующее. Пусть $\mathfrak{D}_\mathbf{A}(N) $ — множество не превосходящих $N$ несократимых знаменателей положительных рациональных чисел, представимых конечными цепными дробями, все неполные частные которых принадлежат конечному числовому алфавиту $\mathbf{A}$. Тогда для мощности $|\mathfrak{D}_\mathbf{A}(N)|$ доказана новая нижняя оценка, улучшение в нетривиальной части которой доходит до 28 процентов по сравнению с аналогичным предыдущим результатом.
Так, при $\mathbf{A}=\{1,2\}$ из доказанной в статье формулы следует неравенство $|\mathfrak{D}_{\{1,2\}}(N)|\gg N^{0{,}531+0{,}024}$ с нетривиальной частью $0{,}024$. Аналогичный предыдущий результат автора относился к неравенству $|\mathfrak{D}_{\{1,2 \}} (N)|\gg N^{0{,}531+0{,}019}$. Расчет, производившийся по оригинальной теореме Бургейна–Конторовича в их статье 2011 г., давал ответ $|\mathfrak{D}_{\{1,2 \}}(N)|$ $\gg N^{0{,}531+0{,}006}$.

Ключевые слова: цепная дробь, тригонометрическая сумма, гипотеза Зарембы, хаусдорфова размерность.

УДК: 511.36+511.336

PACS: 511.36 + 511.336

MSC: 511.36 + 511.336

Поступило в редакцию: 15.03.2021
Исправленный вариант: 01.06.2021
Принята в печать: 05.06.2021

DOI: 10.4213/faa3894


 Англоязычная версия: Functional Analysis and Its Applications, 2022, 56:1, 48–60

Реферативные базы данных:


© МИАН, 2024