Многомерное обобщение теоремы Ильяшенко об абелевых интегралах

Как показал Ю. С. Ильяшенко, при некоторых дополнительных предположениях справедливо следующее утверждение: если интеграл полиномиальной $1$-формы по непрерывному семейству линий уровня многочлена от двух переменных тождественно равен нулю, то форма точна. В работе аналогичное утверждение доказывается при более слабых предположениях, и оно переносится на многомерную ситуацию. Приводится новая информация о возможном рассмотрении предельных циклов полиномиального векторного поля на плоскости.