Подготовительная теорема Вейерштрасса–Мальгранжа в конечногладком случае

В работе доказано, что в конечно гладкой ситуации для каждого $\mu$-кратного в нуле отображения $F\colon(\mathbb{R}^n,0)\to(\mathbb{R}^n,0)$, базиса его локальной алгебры $\{e_1,\dots,e_\mu\}$ и функции $\varphi$ существует разложение Вейерштрасса $\varphi=\sum_{i=1}^\mu e_i\cdot(E_i\varphi)\circ F$. Если область определения $\varphi$ фиксирована, то разложение выполнено в не зависящей от этой функции окрестности нуля. Если $F$, $\{e_i\}$, $\varphi$ имеют гладкость $\mu N+\mu$, то коэффициенты $E_i\varphi$ имеют гладкость $N$, как элементы $C^N$ непрерывно зависят от $F$, $\{e_i\}$, $\varphi$ и линейны по $\varphi$. (В случае $N=0$ от $F$ требуется гладкость $2\mu$.) При сохранении непрерывной зависимости коэффициентов ни у отображения, ни у базиса, ни у разлагаемой функции гладкость не может быть снижена более чем на $1$, а без этого условия ?– более, чем на $\mu$.