О неприводимости коммутаторных многообразий, связанных с инволюциями простых алгебр Ли

Пусть $\mathfrak{g}$ — редуктивная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль и $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_1$ — произвольная $\mathbb{Z}_2$-градуировка. В работе рассматривается многообразие $\mathfrak{C}_1=\{(x,y)\mid[x,y]=0\}\subset\mathfrak{g}_1\times\mathfrak{g}_1$ — коммутаторное многообразие, ассоциированное с $\mathbb{Z}_2$-градуировкой. Ранее автором было доказано, что $\mathfrak{C}_1$ неприводимо, если $\mathbb{Z}_2$-градуировка имеет максимальный ранг. Здесь будет показано, что $\mathfrak{C}_1$ неприводимо для $(\mathfrak{g},\mathfrak{g}_0)=(\mathfrak{sl}_{2n},\mathfrak{sp}_{2n})$ или $(\textrm{E}_6,\textrm{F}_4)$. В случае симметрических пар ранга $1$ доказывается, что число неприводимых компонент многообразия $\mathfrak{C}_1$ равно числу ненулевых $\vartheta$-нерегулярных нильпотентных $G_0$-орбит в $\mathfrak{g}_1$. Мы также обсудим общую задачу о неприводимости коммутаторных многообразий.