К неравенству Джексона в $L_p(\mathbb T^d)$

Доказаны необходимые и достаточные условия на конечный набор $d$–мерных векторов $\{\alpha_l\}$, такой что выполнено неравенство Джексона–Юдина для приближения периодической функции $d$ переменных тригонометрическими полиномами:
$$ E_{n-1}(f)_q\le A\cdot n^{-r+(d/p-d/q)_+}\cdot \max\limits_{l}\|\Delta_{2\pi\alpha_l/n}^mf^{(r)}\|_p, $$
где константа $A>0$ не зависит от $f$ и $n$. Получен критерий разрешимости гомологического уравнения
$$ f(x)-\frac{1}{(2\pi)^d}\int f(t)dt=\varphi(x+2\pi\alpha)-\varphi(x)\qquadп.в.\ x $$
на классах функций $\bigl\{f\colon\ f^{(r)}\in L_p(\mathbb T^d)\bigr\}$.