Размерностные многочлены промежуточных дифференциальных полей и жёсткость системы дифференциальных уравнений с действием группы

Пусть $K$ – дифференциальное поле характеристики нуль с множеством дифференцирований $\Delta=\{\delta_1,\dots,\delta_m\}$, и пусть $\Theta$ обозначает свободную коммутативную полугруппу элементов вида $\theta=\delta_1^{k_1}\dots\delta_m^{k_m}$, где $k_i\in\mathbb N$ ($1\leq i\leq m$). Назовём порядком каждого такого элемента число $\operatorname{ord}\theta=\sum_{i=1}^mk_i$ и для любого $r\in\mathbb N$ положим $\Theta(r)=\{\theta\in\Theta\mid\operatorname{ord}\theta\leq r\}$. Пусть $L=K\langle\eta_1,\dots,\eta_s\rangle$ – дифференциальное расширение поля $K$, порождённое конечным множеством $\eta =\{\eta_1,\dots,\eta_s\}$, и пусть $F$ – промежуточное дифференциальное поле расширения $L/K$. Для любого $r\in\mathbb N$ пусть $L_r=K\Bigl(\bigcup_{i=1}^s\Theta(r)\eta_i\Bigr)$ и $F_r=L_r\cap F$.
Мы докажем существование и опишем некоторые свойства многочлена $\varphi_{K,F,\eta}(t)\in\mathbb Q[t]$, такого что $\varphi_{K,F,\eta}(r)=\operatorname{trdeg}_KF_r$ для всех достаточно больших $r\in\mathbb N$. Этот результат влечёт существование размерностного многочлена, описывающего жёсткость (в смысле А. Эйнштейна) системы дифференциальных уравнений с действием группы. Мы представляем также более общий результат, теорему о дифференциальном размерностном многочлене от многих неизвестных, ассоциированном с промежуточным полем $F$ и разбиением множества дифференцирований $\Delta$.