Символ-алгебры и цикличность алгебр после расширения скаляров

Пусть $F$ – поле. Для семейства центральных простых $F$-алгебр мы доказываем, что существует регулярное расширение $E/F$, сохраняющее индексы $F$-алгебр, такое что все алгебры семейства циклические после расширения скаляров до $E$. Пусть $\mathcal A$ – центральная простая $F$-алгебра степени $n$ и примитивный корень степени $n$ из единицы принадлежит $F$. Построено квазиаффинное $F$-многообразие $\mathrm{Symb}(\mathcal A)$, такое что для расширения $L/F$ многообразие $\mathrm{Symb}(\mathcal A)$ обладает $L$-рациональной точкой тогда и только тогда, когда $\mathcal A\otimes_FL$ – символ-алгебра. Пусть $\mathcal A$ – центральная простая $F$-алгебра степени $n$ и $K/F$ – циклическое расширение степени $n$. Построено квазиаффинное $F$-многообразие $C(\mathcal A,K)$, такое что для расширения $L/F$ со свойством $[KL:L]=[K:F]$ многообразие $C(\mathcal A,K)$ обладает $L$-рациональной точкой тогда и только тогда, когда $KL$ – подполе алгебры $\mathcal A\otimes_FL$.