Многообразия, бирационально изоморфные аффинным $G$-многообразиям

Пусть линейная алгебраическая группа $G$ действует на алгебраическом многообразии $X$. Весьма интересен вопрос о классификации всех таких действий, в частности о бирациональной классификации. Известна полная классификация, связанная с когомологиями Галуа группы $G$. Важен также вопрос о сводимости в том или ином смысле рассматриваемого действия к действию группы $G$ на аффинном многообразии. Показано, что если стабилизатор типичной точки для действия редуктивной группы $G$ на многообразии $X$ редуктивен, то многообразие $X$ бирационально изоморфно аффинному многообразию $\overline X$ со стабильным действием группы $G$. В работе показано, что если типичная орбита действия группы $G$ квазиаффинна, то многообразие $X$ бирационально изоморфно аффинному многообразию $\overline X$.