Конечные разрешимые группы, силовские $p$-подгруппы которых либо бициклические, либо имеют порядок $p^3$

Все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Основным результатом данной работы является следующая теорема. Пусть $G$ – разрешимая группа, у которой для каждого $p\in\pi(G)$ силовские $p$-подгруппы либо бициклические, либо порядка $p^3$. Тогда производная длина группы $G$ не превышает 6. В частности, если $G$ – $\mathrm A_4$-свободная группа, то справедливы следующие утверждения: 1) $G$ – дисперсивная группа; 2) если никакое простое $q\in\pi(G)$ не делит $p^2+p+1$ ни для какого простого $p\in\pi(G)$, то $G$ – дисперсивная по Оре группа; 3) производная длина группы $G$ не превышает 4.