Элементарная эквивалентность групп автоморфизмов абелевых $p$-групп

Рассмотрим абелевы $p$-группы ($p\geq3$) $A_1=D_1\oplus G_1$, $A_2=D_2\oplus G_2$, где $D_1$ и $D_2$ – делимые, а $G_1$ и $G_2$ – редуцированные подгруппы. Мы доказываем, что если группы автоморфизмов $\operatorname{Aut}A_1$ и $\operatorname{Aut}A_2$ элементарно эквивалентны, то группы $D_1$, $D_2$ и $G_1$, $G_2$ соответственно эквивалентны в логике второго порядка.