Отображения Бэклунда и преобразования Ли–Бэклунда как дифференциально-геометрические структуры

Настоящая статья представляет собой изложение доклада, подготовленного автором для Международной конференции “Лаптевские чтения – 2009”. В первом разделе рассматриваются преобразования Бэклунда для дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Геометрическая теория этих преобразований представлена как специальная глава теории связностей. Второй раздел посвящён дифференциально-геометрическим структурам, порождённым так называемыми преобразованиями Ли–Бэклунда (или, что то же, контактными преобразованиями высших порядков), которые представляют собой частный случай диффеоморфизмов между многообразиями голономных струй сечений. Напомним, что в 1970 г. Г. Ф. Лаптев в докладе на Международном конгрессе математиков в Ницце впервые указал, что дифференцируемые отображения можно рассматривать как дифференциально-геометрические структуры.