Алгебры, у которых все отношения эквивалентности являются конгруэнциями

Доказано, что все отношения эквивалентности универсальной алгебры $A$ являются её конгруэнциями в том и только том случае, если либо $|A|\le2$, либо каждая операция $f$ сигнатуры является константой (т.е. $f(a_1,\dots,a_n)=c$ для некоторого $c\in A$ и всех $a_1,\dots,a_n\in A$) или проекцией (т.е. $f(a_1,\dots,a_n)=a_i$ для некоторого $i$ и всех $a_1,\dots,a_n\in A$). Все отношения эквивалентности группоида $G$ являются его правыми конгруэнциями в том и только том случае, если либо $|G|\le2$, либо каждый элемент $a\in G$ является правой единицей или обобщённым правым нулём (т.е. $xa=ya$ при всех $x,y\in G$). В полугруппе $S$ все отношения эквивалентности – правые конгруэнции в том и только том случае, если либо $|S|\le2$, либо $S$ представима в виде $S=A\cup B$, где $A$ – инфляция полугруппы правых нулей, а $B$ – пустое множество или полугруппа левых нулей, причём $ab=a$, $ba=a^2$ при $a\in A$, $b\in B$. Если $G$ – группоид из четырёх или большего числа элементов и все его отношения эквивалентности являются правыми или левыми конгруэнциями, то либо все отношения эквивалентности левые, либо все они правые конгруэнции. Для полугрупп аналогичное утверждение справедливо без ограничения на количество элементов.