Совместные неоднородные диофантовы приближения на многообразиях

В 1998 году Д. Я. Клейнбок и Г. А. Маргулис доказали гипотезу Спринджука в метрической теории диофантовых приближений (на самом деле они доказали несколько более общее предположение Бейкера–Спринджука). По существу, эта гипотеза предполагала, что для почти каждой точки $\mathbf x$ на невырожденном подмногообразии $\mathcal M$ пространства $\mathbb R^n$ значение показателя для совместных диофантовых приближений $w_0(\mathbf x)$ равно $1/n$. В настоящей работе доказывается аналог гипотезы Спринджука в задаче о неоднородных совместных приближениях. Точнее, для произвольного “неоднородного” вектора $\boldsymbol\theta\in\mathbb R^n$ мы доказываем, что для почти всех точек $\mathbf x$ на $\mathcal M$ для показателя в совместной неоднородной диофантовой задаче выполнено $w_0(\mathbf x,\boldsymbol\theta)= 1/n$. Ключевым соображением является неоднородный принцип переноса, который позволяет доказать, что для однородного показателя для почти всех $\mathbf x\in\mathcal M$ выполнено $w_0(\mathbf x)=1/n$ в том и только том случае, когда для каждого $\boldsymbol\theta\in\mathbb R^n$ для почти всех $\mathbf x\in\mathcal M$ для неоднородного показателя выполнено $w_0(\mathbf x,\boldsymbol\theta)=1/n$. Неоднородный принцип переноса, предлагаемый в настоящей работе, сильно упрощает рассуждения из недавней работы работы авторов. Новая упрощённая версия делает более ясными основные идеи, в то время как абстрактных и технических моментов с помощью неоднородного принципа переноса удаётся избежать.