Гиперболы над двумерными квазирешётками Фибоначчи

Для количества $n_s(\alpha,\beta;X)$ точек $(x_1,x_2)$ из двумерной квазирешётки Фибоначчи $\mathcal F_s^2$ уровня $s=0,1,2,\dots$, лежащих на гиперболе $x_1^2-\alpha x_2^2=\beta$ и удовлетворяющих условиям $0\leq x_1\leq X$, $x_2\geq0$, доказывается асимптотическая формула
$$ n_s(\alpha,\beta;X)\sim c_s(\alpha,\beta)\ln X\quad\text{при}\quad X\to\infty, $$
где коэффициент $c_s(\alpha,\beta)$ явно вычисляется. Как следствие из данной формулы выводится следующий результат. Пусть $A_i$, $i=1,2$, пробегают натуральные числа, $A_1\leq X$, числа $\overleftarrow A_i$ получаются из $A_i$ сдвигом в системе счисления Фибоначчи. Пусть $\tau=(-1+\sqrt 5)/2$ – золотое сечение. Тогда для количества решений $n_s(X)$ диофантовой системы
$$ \left\{ \begin{aligned} &A_1^2+\overleftarrow A_1^2-2A_2\overleftarrow A_2+\overleftarrow A_2^2=F_{2s},\\ &\overleftarrow A_1^2-2A_1\overleftarrow A_1+A_2^2-2A_2\overleftarrow A_2+2\overleftarrow A_2^2=F_{2s-1}, \end{aligned} \right. $$
где $F_m$ – числа Фибоначчи, выполняется асимптотическое равенство
$$ n_s(X)\sim\frac{c_s}{\mathrm{arch}(1/\tau)}\ln X\quad\text{при}\quad X\to\infty $$
с коэффициентом $c_s=1/2$ или $c_s=1$ для индексов $s=0$ или $s\geq1$ соответственно.