Монотонная линейная связность $R$-слабо выпуклых множеств в пространстве $C(Q)$

Подмножество $M$ линейного нормированного пространства $X$ называется $R$-слабо выпуклым ($R>0$ фиксировано), если пересечение $(D_R(x,y)\setminus\{x,y\})\cap M$ непусто при любых $x,y\in M$, $0<\|x-y\|<2R$. Здесь $D_R(x,y)$ есть пересечение всех шаров радиуса $R$, содержащих $x,y$. В работе исследуется связность $R$-слабо выпуклых множеств в пространствах типа $C(Q)$. Устанавливается, что $R$-слабо выпуклое множество $M$ в пространстве $C(Q)$ локально $\mathrm m$-связно (локально связно по Менгеру), и показывается, что каждая компонента связности ограниченно компактного $R$-слабо выпуклого подмножества $M$ пространства $C(Q)$ монотонно линейно связна и является солнцем в $C(Q)$. Показано, что ограниченно компактное подмножество $M$ пространства $C(Q)$ является $R$-слабо выпуклым множеством при некотором $R>0$, если и только если $M$ – дизъюнктное объединение монотонно линейно связных солнц в пространстве $C(Q)$, причём хаусдорфово расстояние между любыми компонентами связности множества $M$ не менее $2R$.