Симметрические многочлены и не конечно порождённые $\mathrm{Sym}(\mathbb N)$-инвариантные идеалы

Пусть $K$ – поле, а $\mathbb N=\{1,2,\dots\}$ – множество положительных целых чисел. Пусть $R_n=K[x_{ij}\mid1\le i\le n,\ j\in\mathbb N]$ – кольцо многочленов от $x_{ij}$ ($1\le i \le n$, $j\in\mathbb N$) над $K$. Пусть $\mathrm S_n=\mathrm{Sym}(\{1,2,\dots,n\})$ и $\mathrm{Sym}(\mathbb N)$ – группы перестановок множеств $\{1,2,\dots,n\}$ и $\mathbb N$ соответственно. Тогда $\mathrm S_n$ и $\mathrm{Sym}(\mathbb N)$ действуют на $R_n$ естественным образом: $\tau(x_{ij})=x_{\tau(i)j}$ и $\sigma(x_{ij})=x_{i\sigma(j)}$ для всех $i\in\{1,2,\dots,n\}$ и $j\in\mathbb N$, $\tau\in\mathrm S_n$ и $\sigma\in\mathrm{Sym}(\mathbb N)$. Пусть $\bar R_n$ – подалгебра ($\mathrm S_n$-)симметрических многочленов в $R_n$, то есть
$$ \bar R_n=\{f\in R_n\mid\tau(f)=f\ \text{для каждого}\ \tau\in\mathrm S_n\}. $$
Идеал $I$ в $\bar R_n$ называется $\mathrm{Sym}(\mathbb N)$-инвариантным, если $\sigma(I)=I$ для каждого $\sigma\in\mathrm{Sym}(\mathbb N)$. В 1992 году второй автор доказал, что если $\mathrm{char}(K)=0$ или $\mathrm{char}(K)=p>n$, то каждый $\mathrm{Sym}(\mathbb N)$-инвариантный идеал в $\bar R_n$ конечно порождённый (как $\mathrm{Sym}(\mathbb N)$-инвариантный идеал). В этой заметке мы доказываем, что это не так, если $\mathrm{char}(K)=p\le n$. Мы также делаем короткий обзор некоторых результатов о $\mathrm{Sym}(\mathbb N)$-инвариантных идеалах в алгебрах многочленов и связанных с этим вопросов.