Разностное свойство для функций с ограниченными вторыми разностями на аменабельных топологических группах

Пусть $G$ – топологическая группа. Для функции $f\colon G\to\mathbb R$ и элемента $h\in G$ определим правую разностную функцию $\Delta_hf$ формулой $\Delta_hf(g)=f(gh)-f(g)$ ($g\in G$). Функция $H\colon G\to\mathbb R$ называется аддитивной, если она удовлетворяет функциональному уравнению $H(g+h)=H(g)+H(h)$ для любых $g,h\in G$. Класс $F$ вещественнозначных функций, определённых на $G$, называется имеющим разностное свойство, если для любой функции $f\colon G\to\mathbb R$, удовлетворяющей условию $\Delta_hf\in F$ для любого $h\in G$, существует такая аддитивная функция $H$, что $f-H\in F$. Гипотеза П. Эрдёша, утверждающая, что класс непрерывных функций на $\mathbb R$ имеет разностное свойство, была доказана Н. Г. де Брюйном; позже Ф. В. Кэрролл и Ф. С. Кёль доказали аналогичное утверждение для компактных абелевых групп и, при дополнительных предположениях, для компактных метрических групп, а именно в предположении, что все функции вида $\nabla_hf(g)=f(hg)-f(g)$, $g\in G$, измеримы по Хаару для любого $h\in G$. Одно из следствий этого предположения – ограниченность функции $\{g,h\}\mapsto f(gh)-f(g)-f(h)+f(e)$, $g,h\in G$, для любой такой функции $f$ на компактной группе $G$, что разностная функция $\Delta_hf$ непрерывна на группе $G$ для любого $h\in G$ и функции $\nabla_hf$ измеримы по Хаару для любого $h\in G$ ($e$ – единица группы $G$). В статье рассматривается разностное свойство в более слабом дополнительном предположении, что функция $\{g,h\}\mapsto f(gh)-f(g)-f(h)+f(e)$, $g,h\in G$, является ограниченной. Это предположение позволяет получить результаты о разностном свойстве не только для групп, но и для функций на однородных пространствах.