О наилучшем линейном приближении голоморфных функций

Пусть $\Omega$ – открытое множество на комплексной плоскости $\mathbb C$, и пусть $E$ – компактное подмножество в $\Omega$. Приведён обзор результатов о линейных $n$-поперечниках класса $H^\infty(\Omega)$ в пространстве $C(E)$ и о наилучших линейных приближениях классов типа Харди–Соболева в $L^p$-пространствах. Как известно, частичные суммы ряда Фабера являются классическим средством приближения функции $f\in H^\infty(\Omega)$ в метрике $C(E)$, когда $E$ – ограниченный континуум с односвязным дополнением и $\Omega$ – каноническая окрестность этого континуума. Определяются обобщения рядов Фабера для случая, когда $\Omega$ является многосвязной областью или дизъюнктным объединением нескольких таких областей, а множество $E$ разбивается на конечное число континуумов. Приводятся точные значения $n$-поперечников и асимптотические формулы для $\varepsilon$-энтропии классов голоморфных в трубчатых областях функций, имеющих ограниченные дробные производные. Кроме того, обсуждаются некоторые результаты об аппроксимациях Фабера в связи с их применениями в численном анализе.