Интегрируемые по Лиувиллю обобщённые биллиардные потоки и теоремы типа Понселе

Изучаются “склеенные геодезические потоки” и, в частности, “обобщённые биллиардные потоки” на римановых многообразиях с краем и геодезические потоки на кусочно-гладких римановых многообразиях. Развиваются подходы В. Лазуткина (1993) и С. Табачникова (1993) к доказательству теорем типа Понселе о замыкании с помощью применения классической теоремы Лиувилля к биллиардному потоку (соответственно биллиардному отображению). Мы доказываем, что гюйгенсовость закона преломления/отражения не только достаточна, но и необходима для “локальной интегрируемости по Лиувиллю” склеенного геодезического потока, точнее для попарного коммутирования “склеенных потоков”, отвечающих инволютивному набору локальных первых интегралов, однородных по импульсам. Аналогичный критерий получен для локальной интегрируемости по Лиувиллю отображения последования/биллиардного отображения.