Обратная задача магнитоэлектроэнцефалографии корректна: она имеет единственное решение, устойчивое относительно возмущений

Вопреки бытующему уже несколько десятилетий мнению о некорректности обратной МЭЭГ-задачи (см., например, работу Д. Шелтро и Э. Кутсиаса в «Journal of Applied Physics» (т. 94, вып. 8, с. 5307–5315)), в заметке показано, что эта задача абсолютно корректна: она имеет единственное решение, но в специальном классе функций, отличном от рассмотренных биофизиками. Решение имеет вид $\mathbf q=\mathbf q_0+\mathbf p_0\delta|_{\partial Y}$, где $\mathbf q_0$ — обычная функция, определённая в области $Y$, занимаемой головным мозгом, а $\mathbf p_0\delta|_{\partial Y} $ — $\delta$-функция на границе области $Y$ с некоторой плотностью $\mathbf p_0$. Более того, оператор этой задачи осуществляет изоморфизм соответствующих функциональных пространств. Этот результат был получен благодаря тому, что: 1) за основу были взяты уравнения Максвелла; 2) был сделан переход к уравнениям для потенциалов магнитного и электрического полей; 3) была применена теория эллиптических краевых задач для псевдодифференциальных операторов с целочисленным индексом факторизации. Это позволило найти правильный функциональный класс решений соответствующего интегрального уравнения первого рода. А именно: решение имеет сингулярный пограничный слой в виде дельта-функции (с некоторой плотностью) на границе коры головного мозга. С точки зрения МЭЭГ-задачи это означает, что искомые токовые диполи $\mathbf q$ сосредоточены и в коре головного мозга.