Об условиях конечности в крученой $K$-теории

Цель настоящей (в большей степени обзорной) статьи — показать связь между условиями конечности, возникающими в крученой $K$-теории. В двух основных подходах к проблеме вычисления индекса соответствующего семейства эллиптических операторов (подхода Нистора–Троицкого и подхода Матаи–Мельроуза–Зингера) естественным образом возникают некоторые условия конечности, формулируемые, на первый взгляд, в совершенно несопоставимых терминах. Однако понятно, что эти условия должны быть связаны. В работе выявлена эта связь и доказано соответствующее формальное утверждение. Тем самым показано, что при правильном понимании соответствия условия переходят друг в друга, что открывает возможность синтеза двух подходов. Показано, что условие конечности, возникающее в работе В. Нистора и Е. Троицкого, является частным случаем условия конечности, которое возникает в работе Х. Эмерсона и Р. Майера при обобщении теоремы Нистора–Троицкого со случая расслоения групп Ли на случай произвольного группоида.